机构无故辞退兼职老师应支付赔偿金。依据《劳动合同法》，无故辞退需按工作年限支付经济补偿，未及时处理可能导致法律纠纷及额外赔偿。
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处理无故辞退的常见方式有协商、调解、仲裁、诉讼。建议先与机构协商，协商不成可申请调解或提起劳动仲裁，仍无法解决则诉诸法院。
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无故辞退应赔偿。处理方式：1.与机构协商，要求按法规支付赔偿金；2.若协商无果，向劳动部门申请调解；3.调解不成，准备证据提起劳动仲裁；4.仲裁结果不满，可向法院提起诉讼。